Задачи средней сложности по математике за 25-35 рублей

Задача средней сложности по математике за 20-21 рублей

Условие задачи:

Найти общее решение дифференциального уравнения:
x*y'=+y

Решение:

Выразим в явном виде y', разделив левую и правую часть уравнения на x:
y'=+y/x      Данное уравнение является однородным.

Сделаем замену y/x=z и разделим переменные:
y=z*x      y'=z'*x+z
z'*x+z=+z
z'*x=
dz/=dx/x

Проинтегрируем уравнение:
dz/=dx/x    =>    ln|+z|=ln|x|+lnc +z=c*x

Сделаем обратную замену:
y/x+=c*x - общее решение уравнения.

Условие задачи:

Вычислить производную функции:
y=(x+1)⁵**sin²(x)/(x+4)³*e^x3;

Решение:

Пользуясь известной схемой дифференцирования произведения и частного, получим очень громоздкое выражение. Прологарифмируем наше выражение:
lny=ln{(x+1)⁵**sin²(x)/(x+4)³*e^x3}=
=ln{(x+1)⁵**sin²(x)}-ln{(x+4)³*e^x3}=
=5*ln(x+1)+1/2*ln(x-1)+2*sin(x)-3ln(x+4)-lne^x3=
=5*ln(x+1)+1/2*ln(x-1)+2*sin(x)-3ln(x+4)-x³

Т.е. теперь логарифм исходной функции содержит простые для дифференцирования слагаемые. Продифференцируем почленно обе части тождества.
(lny)'=1/y*y'    =>    1/y*y'=(5*ln(x+1)+1/2*ln(x-1)+2*ln(sin(x))-3ln(x+4)-x³)'
1/y*y'=5/(x+1)+1/(2*(x-1))+2*ctg(x)-3/(x+4)-3*x²

Вместо y подставляем исходную функцию и получаем окончательное выражение:
y'=(x+1)⁵**sin²(x)/(x+4)³*e^x3*{5/(x+1)+1/(2*(x-1))+2*ctg(x)-3/(x+4)-3*x²}

Условие задачи:

Найти область сходимости ряда:

(-1)ⁿ*(x-2)ⁿ/5^n
n=1

Решение:

Используем признак Коши. Запишем предел корня n-ой степени из общего члена ряда и потребуем, чтобы он по модулю был меньше единицы:
=|(x-2)/5|

Требуем, чтоб |(x-2)/5|<1   =>   |x-2|<5   -5<|x-2|<5

Получим интервал значений x, для которых исходный ряд является сходящимся. -3

Проверяем сходимость ряда на концах интервала:
при x=7 имеем ряд

(-1)n*5n/5n= n=1

(-1)n n=1

ряд расходится, так как предел общего члена не равен нулю.

При x=-3 имеем ряд

(-1)n*(-5)n/5n= n=1

1 n=1

ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

Следовательно, концы интервала не принадлежат интервалу сходимости, и ряд сходится при x(-3;7).