Несложные задачи по математике за 15-25 рублей

Несложная задача по математике за 15-16 рублей

Условие задачи:

Вычислить предел:
= {/}

Решение:

Выражение, стоящее в числителе дроби, представляет собой сумму n членов арифметической прогрессии, которую можно найти по известной формуле:
S_n=(a₁+a_n)*n/2.

В нашем случае a₁=1 a_n=2*n-1, число членов прогрессии n. Учитывая это, и оставляя в знаменателе только старшие члены, получим:
= {/} = = n²/6*n² = 1/6

Условие задачи:

Исследовать на сходимость ряд:

5ⁿ/(2*n+1)^2
n=1

Решение:

Воспользуемся признаком Даламбера:
найдём u_n+1/u_n;

u_n=5ⁿ/(2*n+1)²     u_n+1=5ⁿ⁺¹/(2(n+1)+1)²
u_n+1/u_n = 5ⁿ⁺¹/(2*(n+1)²+1)²*(2*n+1)²/5ⁿ = 5*(2*n+1)²/(2*n+3)²=5

Следовательно ряд сходится.

Условие задачи:

Вычислить производную функции: y=x*arcsin(x)-3*x²/7+(x³-2)*

Решение:

Воспользуемся правилами дифференцирования суммы, произведения и таблицей производных:
y'=x'*arcsin(x)+x*(arcsin(x))'-3*(x²)'/7+(x³-2)'*+(x³-2)*()'=
=arcsin(x)+x/-6*x/7+3*x²*+(x³-2)*5/3*x^2/3=
=arcsin(x)+x/-6*x/7+3*x^11/3+5/3*(x³-2)*x^2/3